Функциональная отделимость

Тип статьи:	Регулярная статья

Два подмножества <math>A</math> и <math>B</math> в данном топологическом пространстве <math>X</math> называются функционально отделимыми в <math>X</math>, если существует такая определенная во всём пространстве вещественная ограниченная непрерывная функция <math>f</math>, которая принимает во всех точках множества <math>A</math> одно значение <math>a</math>, a во всех точках множества <math>B</math> ― некоторое отличное от <math>a</math> значение <math>b</math>. При этом всегда можно предположить, что <math>a=0,b=1,0\leqslant f(x)\leqslant 1</math> во всех точках <math>x\in X</math>.

Пространство, в котором всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего её замкнутого множества, называется вполне регулярным.

Свойства

• Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями. Обратное утверждение верно не всегда, однако имеет место:
  • Лемма Урысона. В нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.

См. также

• Принцип разделимости

Уведомление: Предварительной основой данной статьи была аналогичная статья в http://ru.wikipedia.org, на условиях CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, которая в дальнейшем изменялась, исправлялась и редактировалась.